Viktor Ujčík se narodil 24. května 1972 v Jihlavě, kde také prožil své mládí. Jako hokejista sehrál první mistrovské seniorské utkání za tým ASD Dukla Jihlava v sezoně 1990/91. S Duklou spojil ještě následující čtyři sezony, ve kterých odehrál za Duklu 158 utkání a vstřelil v nich 67 gólů. V premiérové sezoně1990/91 získal s Duklou svůj první titul mistra Československa. Po skončení sezony 1994/95 odešel z Dukly a jeho další hokejová cesta vedla do klubu HC Slavia Praha, kde zakotvil na tři sezony.
Dále jeho kariéra pokračovala v klubu HC Oceláři Třinec, následoval návrat do Slavie Praha (dvě a půl sezony) a půlsezónní pobyt v klubu HC Plzeň. Od sezony 2002/03 hrál poté Viktor Ujčík dvě sezony v klubu HC Sparta Praha. Poté již následovalo tříleté angažmá v zahraničí. V týmu Kärpät Oulu slavil dva mistrovské tituly. Po návratu do Čech odehrál ještě šest sezón v klubu HC Vítkovice. Do Dukly Jihlava se vrátil stylově v sezoně 2013/14, nicméně zranění kolene mu dovolilo odehrát pouze tři zápasy.
Následovala trenérská kariéra. Viktor Ujčík si prošel mládežnickými akademickými kategoriemi v Dukle Jihlava a okusil i pozici asistenta hlavního trenéra v extraligové Mladé Boleslavi. Od sezony 2020/21 je hlavním trenérem A týmu klubu HC Dukla Jihlava.
Co se týče reprezentační seniorské kariéry, tak Viktor Ujčík odehrál za národní tým 43 utkání. V nich se trefil do černého sedmnáctkrát a přidal k tomu ještě devět asistencí. V letech 1996, 1999 a 2001 získal titul mistra světa.